Science.net.pl

Kategorie - Matematyka

„Lustrzane" liczby pierwsze

Logiczny dowód na potwierdzenie „Hipotezy Goldbacha”

Hipoteza Goldbacha

Christian Goldbach (1690-1764), pruski matematyk działający w Petersburgu i Moskwie, sformułował ten problem w 1742 roku w liście do słynnego matematyka Leonharda Eulera. Pierwotna wersja zakładała , że każdą liczbę parzystą większą od „6” można zapisać jako sumę trzech liczb pierwszych. Euler zauważył, że do rozwiązania tego problemu wystarczy dowód na to że:
„każdą liczbę parzystą większą od 4 da się przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych.”

Ponad 100 lat temu, 8 sierpnia 1900 roku, na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu niemiecki matematyk David Hilbert ogłosił słynną listę dwudziestu trzech najtrudniejszych problemów matematycznych świata. Ósmym z kolei jest wykaz kilku zadań z teorii liczb, wśród których znajduje się hipoteza Goldbacha. Uzyskano kilka ciekawych, lecz tylko cząstkowych wyników.

Tyle na temat historii.

Definicje:

Liczby pierwsze "lustrzane" są to liczby jednakowo oddalone od środka dowolnego przedziału, w stronę jego początku i końca.

Użyć sito Erastotenesa od końca przedziału - od końca dowolnego przedziału wykreślamy co trzecią liczbę( nie musi to być wielokrotność liczby "3") potem co piątą itd.

Spróbujmy rozwiązać problem w ten sposób.
Zbudujmy układ współrzędnych tak:

Teraz dla każdego kolejnego Y przypisujmy kolejne liczby z osi X, ale w kolejności od x do 1 i tylko w tych miejscach gdzie na osi X są liczby pierwsze.(W miejscu gdzie na osi X nie ma liczby pierwszej zostawiamy puste pole.)

Łatwo zauważyć że rozpatrując kolejno każdy przedział gdzie y∈⟨0,x⟩ x,y ∈N pozostają nam wypisane tylko takie pary liczb pierwszych których suma w kolejnych przedziałach daje kolejne liczby parzyste.

y₁=3+3=6
y₂=5+3=8
y₃=7+3=5+5=10
y₄=7+5=12
itd… Pojawiają się dwa podstawowe pytania:

1. Dlaczego tak się dzieje?
2. Czy dla każdego przedziału tak się dzieje?



Na początku pokażmy pewną oczywistą rzecz.

Zaznaczając na osi „x” kolejne liczby naturalne widzimy że: jeżeli liczba A jest oddalone od początku układu o „n” a liczba B jest oddalona od „x” również o „n” to:

A+B=x   gdzie   A,B,x,n∈N
A=0+n   ,   B=x-n
0+n+x-n=x
x=x

Rzecz (jak te liczby) NATURALNA

    Spróbujmy odpowiedzieć na pierwsze pytanie.
    Dlaczego tak się dzieje?

Dla dowolnego przedziału stosujemy jednakowe zasady wyznaczania liczb:

Weźmy dla przykładu przedział dla x=26 i postępujmy według powyższych zasad:

Wniosek: (dla x=26) zgodnie z zasadą że jeżeli liczba A jest oddalone od początku układu o „n” a liczba B jest oddalona od „x” również o „n” to:

A+B=x     gdzie   A,B,x,n∈N

Przyjmujemy:

Dla pierwszej pary liczb mamy:

A=0+m , B=x-m , m=3
0+3+26-3=26

Jest to oczywiste ponieważ liczba pierwsza „23” jest oddalona od „x” o 3 a liczba pierwsza „3” jest oddalona od początku osi również o 3.

To samo mamy dla kolejnej pary liczb pierwszych „19” i „7” , jak również dla liczby pierwszej „13” która leży w środku przedziału.

Pytanie pierwsze: Dlaczego tak jest?

Odpowiedź: Jeżeli do wyznaczania liczb od początku i końca danego przedziału „x” używamy jednego wzoru (tu sito Eratostenesa)i wypisujemy tylko te liczby które się nakładają to logiczne jest że otrzymujemy pary liczb których suma daje „x” ponieważ tym sposobem wypisujemy tylko liczby pierwsze które są jednakowo oddalone od początku i końca przedziału.

Używamy tylko liczb pierwszych więc otrzymujemy pary takich liczb pierwszych których suma daje liczbę parzystą. A każdy kolejny przedział wyznacza kolejną liczbę parzystą.

Dla pierwszych wypisanych tu przedziałów jest to widoczne.

Pozostaje pytanie drugie: Czy dla każdego przedział tak się dzieje?

Odpowiedź sprowadza się do jednego zadania:
”Wystarczy znaleźć jeden przedział, który nie da się w ten sposób uzyskać.”

Spróbujmy to zrobić.



Dla przedziału x∈<1,26> liczba pierwsza w przedziale ⟨x/2,x⟩ może być tylko dla x=20 bo tylko w tedy nie znajdziemy drugiej liczby pierwszej z przedziału ⟨1,x/2⟩ aby ich suma dała x=26

Spróbujmy znaleźć jeden przedział w którym nie znajdziemy pary liczb, liczba A z przedziału ⟨1,x/2⟩ , liczba B z przedziału ⟨x/2,x⟩, jednakowo oddalone od środka przedziału.

Punktem tym jest iloczyn tych liczb ponieważ dopiero od tego punktu jednocześnie, odległości wielokrotności p₁ i p₂ są jednakowe.

x/2=p₁*p₂

Więc pierwszym najmniejszym przedziałem, dla którego wykreślenia liczb p₁ i p₂ od początku i końca przedziału są jednakowe jest przedział dla:

x=p₁*p₂*2

I ogólnie:

x/2=p₁*…*p_(n-1)*p_n
x=p₁*…*p_(n-1)*p_n*2
p_n-kolejna liczba pierwsza , n∈N

Skorzystajmy z twierdzenia Czebyszewa które mówi:

Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

Pozostaje nam udowodnić, że:

p₁*…*p_(n-1)*p_n*2>2p_n

Bo jeśli x>2p_n to między p_n a 2p_n jest liczba p_(n+1) której nie użyliśmy do wykreśleń co oznacza że liczby w przedziale ⟨1,x/2⟩ i ⟨x/2,x⟩ nie są jednakowo oddalone od środka przedziału.

p₁*p₂*…*p_(n-1)*p_n>p_n
p₁*p₂*…*p_(n-1) >1

x>2p_n

Z prawdziwości tej nierówności wynika że w każdym rozpatrywanym przedziale istnieje liczba pierwsza która nie została uwzględniona w wykreśleniach, więc nie znajdziemy takiego przedziału w którym liczby wykreślane od początku i od końca są jednakowo oddalone od jego środka.

Oznacza to że w każdym kolejnym przedziale znajdziemy parę liczb pierwszych których suma daje kolejną liczbę parzystą.

„Każdą liczbę parzystą można zapisać jako suma
dwóch liczb pierwszych”

O autorze:

Krakowianin, matematyką i liczbami pasjonuje się od zawsze. Z wykształcenia kucharz, technik ekonomista, a z zawodu kaletnik introligator. Obecnie studiuje na WST Katowice budownictwo i tym też zajmuje się od kilku lat. Sam mówi tak: Czemu nie studiowałem matematyki to nie wiem ... Może jeszcze zdążę :)